어린이들의 수학 학습과 관련해서 시종일관 변함없이 제기되는 문제 중 하나가 덧셈과 뺄셈에서의 실수입니다. 만일 계산기의 발달이 없었다면 이것은 또한 어른들의 문제이기도 했을 것입니다. 끊임없이 제기되는 문제이지만 쉽게 해결되지 못하는 것을 보면서 인간은 컴퓨터가 아니라는 것을 새삼스럽게 깨닫게 됩니다. 이 문제가 해결되지 않는 이유는 무엇일까요? 그냥 인간은 원래 꼼꼼하지 않다고 생각하고 넘어가야 하는 문제일까요? 덧셈과 뺄셈에서의 실수를 줄이기 위한 좋은 방법은 없을까요?



 ◈ 덧셈은 정말 쉽습니까?



 우리는 아이들이 덧셈과 뺄셈에서 틀리는 이유를 쉽게 실수라고 생각합니다. 덧셈의 방법 즉 “오른쪽에서부터 차례로 더해나가되 10이 되면 받아올림 하라”가 너무나 쉽기 때문에 문제가 있다면 꼼꼼하지 못한 탓이라고 말입니다. 하지만 정말 그럴까요?



 적어도 1, 2학년의 경우 덧셈과 뺄셈의 오류가 단순한 실수가 아닌 경우가 많습니다. 다시 말해 연산에서의 실수만이 아니라 추상적 개념에 대한 이해부족의 문제와 뒤섞여 발생하는 오류라는 것입니다. 실제로 1, 2학년 어린이들의 경우 기계적인 방법을 배워서 두 세 자리 덧셈을 풀고는 있지만 수 개념이나 진법 개념을 이해하지 못하고 있는 경우가 많습니다. 만일 진법 개념에 대해 충분히 이해했다면 두자리수 덧셈과 다섯자리수 덧셈의 원리가 같다는 것을 알겠지요. 여러자리수의 셈이라고 해서 특별할 것이 없습니다. 하지만 그렇지 않은 어린이에게 여러자리수 덧셈이란 어렵고 부담스러운 문제일 뿐입니다. 개념 이해가 부족한 상태에서 덧셈과 뺄셈을 하기 때문에 오류가 생길 수밖에 없습니다.



 더구나 어린이들이 순수하게 수식을 셈하는 경우는 별로 없습니다. 어린이들이 다루는 대부분의 문제는 문장에 대한 해석이나 추론을 포함하는 문제라는 것입니다. 이 경우 문장에 대한 해석이나 추론의 오류 때문에 문제를 제대로 해결하지 못할 수 있습니다. 물론 넓게 보면 이것 또한 셈의 문제이지만 그렇다고 복합적인 원인에 의해 생긴 문제를 오류를 오직 연산의 문제로 규정할 수는 없습니다.



 따라서 이러한 경우 무턱대고 반복적인 연산 훈련을 하는 것은 올바른 문제해결 방법이 아닙니다. 어린이의 수 개념은 올바른지, 진법의 개념과 연산의 원리를 제대로 이해하고 있는지를 확인하는 것이 먼저입니다. 아울러 문제 해결과 관련된 능력들을 키울 수 있게 도와주어야 합니다.

 더구나 원리에 대한 충분한 이해 없이 연산 훈련을 반복했을 때 심리적인 문제가 생길 수 있습니다. 지루한 훈련 과정에서 계속적으로 오류가 발생하고, 그 오류를 지적당하면 점점 자신감을 잃게 됩니다. 어린이의 이런 상태를 방치했을 때 ‘나는 수학을 잘 못한다’라는 콤플렉스를 갖게 됩니다. 원리에 대한 충분한 이해없이 진행하는 연산 훈련은 독이 될 뿐입니다.



 

◈ 그것은 좋은 방법입니까?



 그렇다면 원리에 대한 충분히 이해하고 있는 어린이들의 경우는 어떨까요? 원리에 대한 이해만으로 연산의 문제가 해결된다면 무척이나 좋은일이겠지만 전혀 그렇지 않습니다. 이상한 일입니다. 이해도 했고, 방법도 있고, 연습도 하는 데 달라지는 게 없습니다. 이러한 경우 해 볼 수 있는 질문은 과연 그 방법이 과연 좋은 방법인가라는 것입니다.



 우리는 연산을 철저하게 기계적 알고리즘 즉 고정된 절차나 방법이라고 봅니다. “오른쪽부터 더해 나가되 10이 모이면 받아올림하라.” 이것이 우리가 덧셈의 방법이라고 생각하는 것의 전부입니다. 하지만 왜 이렇게 오른쪽에서부터 차례로 더해가야 하는 걸까요? 이것이 의미하는 바는 무엇일까요? 정말 이것은 최선의 방법일까요?



 우리가 덧셈을 할 때 오른쪽 즉 일의 자리부터 더해가야 한다고 생각하는 이유는 받아올림 때문입니다. 왼쪽에서 더해가면 받아올림을 반영할 수 없거나 반영하기 어렵다고 생각하는 것입니다. 그럼에도 불구하고 어린이들이 틀리는 문제의 대부분은 받아올림이 있는 문제들입니다. 문제가 복잡해지면 받아올림을 제대로 처리하지 못하는 것입니다. 받아올림을 빼먹지 않는 방법이라고 믿고 오른쪽에서부터 더해가는 방법을 사용하는데 실제 오류는 받아올림의 문제에서 생깁니다. 뭔가 아이러니합니다. 정말 우리가 알고 있는 방법은 정확한 셈을 위한 좋은 방법일까요?



 결론부터 말하자면 그렇지 않습니다. 오른쪽부터 더해가는 방법은 정확한 셈을 보장하지 못하고 오히려 자리 맞춤이나 받아올림의 문제를 제대로 처리할 수 없게 합니다. 이것은 곱셈의 경우에 더욱 분명하게 드러납니다.

 



 

 


일의 자리부터 계산하게 되면 이렇듯 받아 올림의 문제, 자리 맞춤의 문제가 복잡하게 얽혀서 틀리기 쉽습니다. 이것은 부주의의 문제라기보다는 방법 자체의 문제라고 볼 수 있습니다. 왜냐하면 받아올림의 문제나 자리 맞춤의 문제를 간단하게 해결할 수 있는 방법도 있기 때문입니다.

 




이 방법은 다음과 같습니다. 먼저 십의 자리끼리, 일의 자리끼리 곱합니다. 이 경우 두 곱은 자리가 겹치지 않기 때문에 받아올림을 생각하지 않고 차례대로 쓸 수 있습니다. 그러고 나서 윗수의 십의 자리와 아랫수의 일의 자리, 아랫수의 십의 자리와 윗수의 일의 자리를 차례로 곱해 더하면 간단하게 구할 수 있습니다. 이 방법은 일의 자리부터 곱해 나가는 방법보다 고려해야 할 것이 적고 따라서 오류가 적어집니다.



 또한 오른쪽에서부터 계산하는 방법은 덧셈이라는 개념과 정반대 방향의 사고를 전제합니다. 이것은 무슨 뜻일까요? 결국 덧셈이라는 것은 전체량을 파악하는 것입니다. 전체량에서 중요한 것은 큰 단위의 숫자입니다. 즉 어떤 모둠의 개체수와 다른 모둠의 개체수의 합을 알려고 할 때 중요한 것은 큰 단위의 수이지 작은 단위의 수가 아닙니다. 예를 들어 남과 북의 인구수의 합을 안다고 했을 때 그 수에서 일억 몇 천만인가가 중요하지 그 수의 일의 자리를 궁금해 하지는 않는 것입니다. 이러한 관점에서 생각해 보면 전체량을 파악하는 데 중요한 순서 즉 큰 자리 수부터 더해나가는 방식이 본래 덧셈의 개념에 맞는 방법이라는 것을 알 수 있습니다. 



 

이것이 우리가 알고 있는 유일한 덧셈의 방법입니다. 하지만 이 방법을 사용하게 되면 전체량이 얼마나 되는지 보다는 전체량의 끝자리수가 무엇인지 먼저 알게 됩니다. 그렇다면 다른 방법도 있을까요? 물론 있습니다. 






(84 + 50) +7의 방법으로 계산하는 방법입니다. 이렇게 하면 전체량을 먼저 어림할 수 있습니다. 또한 받아올림을 따로 적지 않아도 되므로 실수가 적어집니다. 훨씬 좋은 방법입니다. 이는 위에서 살펴본 곱셈식에서도 마찬가지였습니다. 오른쪽에서부터 계산하기라는 방법에서 벗어나니 먼저 전체량을 어림할 수 있었으며 오류도 줄었습니다.



 물론 이 방법은 전체의 윤곽을 먼저 파악하고 부분으로 들어가는 방향의 사고방식으로서 우리에게 익숙한 방법은 아닙니다. 하지만 중요한 점은 그것이 우리의 어린이들에게 부족하고 그래서 필요한 사고방식이라는 것입니다. 이것이 의미하는 바는 연산이 도구가 될 수 있다는 것입니다. 즉 연산을 함으로써 부분에 함몰되지 않고 전체를 보는 사고방식을 기를 수 있다는 뜻입니다. 더욱 중요한 사실은 이것이 닥터필로스의 유별나고 독특한 주장이 아니라는 것입니다. 이미 작년부터 왼쪽부터 더해가는 방식을 제시하는 교과서가 등장하기 시작했습니다. 변화의 의미를 해석해서 적용해야 할 때입니다.







 

◈ 사고 훈련으로서의 연산



 모든 문제 해결에는 여러 가지 방법이 있을 수 있습니다. 그리고 어린이들에게 중요한 것은 해결의 여부가 아니라 여러 가지 방법을 궁리하는 과정입니다. 그러면서 생각하는 힘을 기를 수 있으니까요. 이 원칙은 연산에도 그대로 적용됩니다. 연산은 결코 하나의 정해진 방법으로 진행되는 기계적인 과정이 아닙니다. 문제 하나하나마다 개별적인 특징이 있고 그 특징마다 해결 순서가 다를 수 있습니다. 각각의 문제에 대해 이런 방식으로 문제에 접근해서 고민하는 어린이들은 수학에 흥미를 가질 것입니다. 기계처럼 문제를 해결하는 어린이들이 쉽게 지쳐 수학에 거부반응을 보이는 것과 다르게 말입니다.



 연산과 관련한 학부모님들의 고민 해결에 도움을 드리고자 3-4학년 대상의 연산 문제를 숭문당을 통해 제공하려고 합니다. 기계적으로 풀어 해치우는 연산 문제들이 아니라 해결 방법을 궁리함으로써 생각하는 힘을 기를 수 있는 연습문제입니다.

따지고 보면 어린이들이 셈을 잘 하지 못하는 것은 원리와 방법을 제대로 전해주지 못했기 때문입니다. 제발 어린이들의 실수를 비난하지 말아주세요. 정확한 개념 이해와 제대로 된 방법으로 이끌어준다면 누구보다 뛰어나게 셈을 하는 어린이가 될 것입니다. 또 어린이들이 문제를 해결하는 속도를 가지고 다그치지 말아 주세요. 익숙해지면 속도는 저절로 붙을 것입니다.

[이 게시물은 닥터필로스님에 의해 2018-03-31 15:58:53 서지정보에서 복사 됨]