'수학이란 문제를 잘 이해하고 실수없이 빠르게 풀어서 답을 찾아내면 된다, 그렇게 되기 위해서 공식을 알고
그 공식을 적용하여 무수히 많은 문제를 풀어 연습하면 가능하다' 라는 생각은 지금까지 수학이란 과목을 정복
하기 위해 늘 택해왔던 나의 최선책이었다. 하지만 정복이란 것이 그리 쉬운일은 아니다.
그러던 중 닥터필로스를 알게되었고, 수업을 들으면서 지금까지 내가 택해왔던 방법이 최선책이 아니었다는 사
실을 깨닫게 되었다. 이 수업은 대부분 나에게 새로운 것들이었다. 오늘은 그 중에서 특히 자주 듣게 되었던 '추
상화'에 대해서 생각을 함께 공유하고 싶다.
한 시간 수업을 듣는 동안 여러 번 듣게 되는 단어, 바로 ‘추상화’이다. 내가 아는 추상이란 정의를 내릴 수 없는
어떤 모호함을 말하는 것이었다. 닥터필로스에서 수업을 들으면서 추상이란 단어의 의미를 내가 알고 있던 추상
과는 좀 다른 방향으로 생각해보게 되었다.
사실, 수학이란 과목에서 ‘추상화 되었다’라는 말을 듣는 것이 처음엔 어색하고 이상했다. 내가 알고 있던 추상
이란 단어는 모호함의 의미와 가까웠으니 말이다. 그렇기 때문에 논리적이고 정확해야 하는 수학에서 추상이라
는 말이 나오는 것 자체만으로도 궁금해 질만한 이유가 충분했다. 수업 중에 추상화란 말이 나올 때마다 더욱
집중해서 듣고 생각하고. 처음엔 그저 추상화하란 것이 단순하게 만들라는 의미로 쓰인 것이라고 생각했다. 그
리고 단어를 찾아보았다. ‘낱낱의 구체적 사물에서 공통되는 속성이나 관계 따위를 관념적으로 뽑아 냄’이라는
의미로도 쓰이고 있었다. 그러고 보니, 여러 개의 예를 들고 그 예들의 공통점을 찾아 개념을 명확히 찾아내는
과정을 추상화라는 의미로 사용하고 있는 것을 알게 되었다. 추상화가 더 많이 되어있을수록 이해하기가 더 어
렵다는 의미에서 보면 더 모호해졌다고 생각 할 수도 있겠다.
추상화를 통해 문제를 간단히 해결하는 예를 들어보려고 한다.
문제1) 거북이와 두루미 머리수의 합은 10 이고 다리의 합은 36이다. 거북이와 두루미의 수를 구하시오.
문제2) 한사람에게 사탕을 2개씩 주면 12개가 남고, 4개씩 주면 2개가 남는다. 사탕은 모두 몇개인가?
*보통의 풀이방법
문제1의 경우
거북이+두루미=10 과 4X거북이+2X두루미=36의 방정식을 풀어서 각각의 수를 찾아낸다.
문제2의 경우
두 경우의 사탕수가 같기때문에 사람수를 구하기위해서, 2X사람수+12=4X사람수+2 로부터 사람수를 찾아낸후
2X사람수+12에 대입하여 사탕의 수를 찾아낸다.
이 풀이 방법이 보통 우리가 흔히 하는 방법이다.
*닥터필로스의 추상화 과정을 통한 풀이방법
이 두문제에는 공통점이 있다. 비교대상이 있다는 것이다. 반면, 이 두 문제의 차이점이 있다면 1번의 경우는 전
체차가 숨어있기 때문에 그 전체차에 해당하는 다리수를 만들어내야 한다면 문제2의 경우는 전체차를 바로 알
아볼수 있다는 점이다. 하지만 이 두문제는 추상화를 통해서 같은 문제가 될수있다. 바로 개별차X횟수=전체차
(추상화됨)를 이용하는 것이다.
문제1의 경우
거북이 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
두루미 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
다리수 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
둘의 합이 10 이므로 위의 표와 같은 경우로 나누어 볼수 있다. 거북이의 수가 1씩 늘어날때마다 다리수가 2씩
늘어남을 알수있다. 그 이유는 거북이와 두루미의 다리수의 차이가 2개이기 때문임을 쉽게 이해할수 있다. 앞에
서 말했듯이 이 문제에는 전체차가 숨어있기때문에 임의로 전체차를 정하면 된다. 그 전체차와 문제에서 주어진
전체차를 이용하면 문제를 쉽게 해결할수 있다.
거북이가 0 마리인 경우를 전체차로 이용하는 경우, 전체차÷개별차=횟수(여기서 횟수란 거북이가 추가되는 마
리수를 의미한다)를 사용하여 (36-20)÷(4-2)=8을 구할수 있고 이것은 거북이 8번을 추가하면 다리가 36개 된
다는 뜻으로 거북이가 8마리 두루미가 2마리임을 뜻하게 된다.
즉, 이문제를 풀기위해서는 2원1차 방정식을 풀 필요 없이 (36-20)÷(4-2)=8 만 구하면 되는 것이다.
문제2의 경우도 마찬가지다. 사탕을 2개씩 줄때와 4개씩 줄때 개별차는 4-2=2이고 전체차는 0명에게 줄때를
기준으로 보면 쉽게 12-2=10임을 찾을수 있다. 따라서 역시 방정식을 풀 필요 없이 전체차÷개별차=횟수(여기
서 횟수란 늘어나는 사람수를 의미한다)를 이용하여 (12-2)÷ (4-2)=5 임을 한번에 구할수 있다. 여기서 구한
사람수 5를 원식에 대입하면 사탕수를 바로 구할수가 있는것이다.
이것이 문제를 이해하고 공통점을 찾아 추상화하여 문제를 푸는 과정이다. 더욱 놀라운것은 '거리=시간X속
도'를 이용하여 방정식을 풀던 문제도 위의 문제와 똑같은 방법으로 추상화하여 해결할수 있다는 것이다. 이 문
제에 대한 풀이는 다음에 왜 같을수 있는지에 대해 밝혀보도록 하겠다. 오늘은 이 두문제 만으로도 어쩌면 조금
은 벅찰수 있지 않을까 하는 생각에서...
처음엔 좀 어리둥절 할수 있지만 이러한 추상화의 과정은 문제를 이해하고 해결해 나아가기 위해 꽤 중요한 과
정이라는 생각이 들었다. 추상화 과정을 통해서 여러 조건을 가지고 있는 문제가 기본형의 문제로 바뀌고 그럼
으로써 문제의 핵심을 보고 정확하게 해결 할 수 있었다. 문제를 기본형으로 일반화 시킨 것과 같다는 생각이
다.
이러한 과정을 생각하지 않고 무의식적으로도 문제를 풀 때에는 복잡한 문제는 간단한 식으로 만들어서 해결했
었다. 그렇다면 이러한 과정을 이해하고 문제를 해결하는 것과 이해하지 못하고 문제를 해결하는 것과의 차이는
무엇일까? 문제를 정확히 보고 같은 유형을 구분하여 단순화하는 과정을 통하여 문제를 좀 더 쉽게 해결 할 수
있게 됨은 물론이고, 무조건 단순화만을 위해 문제를 쉬운 쪽으로만 바꾸어 필요한 부분까지 버리게 되는 실수
를 줄일 수 도 있을 것이다.